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 Pour toute l'étendue AA, on a aussi 



lini - — =r c^ -^rt — s' = . . . (50) 



AA li-ï, igJa 



42. Courbure des canaux circulaires. 



Sur toute sphère de rayon R, la courbure w est constante 

 et égale à— ^ en géométrie riemannienne, à -r-^.. en géométrie 

 lobatchefskienne; l'horisphère a pour courbure 1. Surl'hyper- 

 sphère, lieu des points dont la distance à un plan fondamental 

 égale d, la courbure vaut tg-^ ou i\fd; donc on peut distinguer 

 en géométrie lobatchefskienne les sphères véritables de l'hori- 

 sphère et des hypersphères suivant la valeur de la courbure qui 

 est successivement supérieure, égale ou inférieure à 1. Nous 

 avons remarqué déjà que la géométrie à deux dimensions sur 

 toute sphère est riemannienne; sur l'horisphère, euclidienne, 

 et sur les hypersphères lobatchefkiennes, également lobatchefs- 

 kienne. 



Envisageons maintenant un canal circulaire à axe rectiligne, 

 ou lieu des points équidistants d'une droite; en chaque point, 

 les rayons principaux de courbure sont celui du méridien 

 hypercycle et celui du parallèle section normale; le second 

 vaut l'équidistance R, et le premier a pour valeur R' telle que 



1 , 1 



1er R' --=- — - — ou ih R = , 



^ tgR th K 



il en résulte que 



co = — 1 pour le canal riemannien \ quel que soit le 

 w= -+- 1 pour le canal lobatchefskien ] rayon R. 



L'indicatrice des canaux riemannicns est une hyperbole 

 ayant pour cycliques les deux génératrices rcctilignes situées 

 dans le plan tangent, droites faisant entre elles un angle 

 égal à 2 R; celle des canaux lobatchefskiens est une ellipse et 

 devient un cercle sur l'horisphère pour R = co. 



