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subsiste pour tous les autres, et par suite pour l'horisphère 

 qui est un canal de rayon infini, sur lequel on peut appliquer 

 tous les canaux lobatchefskiens. 



Si une courbe plane C tourne autour d'un axe, l'arc dS 

 décrit un élément d'aire convexe ^A qu'on peut considérer 

 comme tronc-conique, et exprimé par la formule 



rfA = 25r//rfS (5!) 



y est le sinus de l'ordonnée de la courbe par rapport à l'axe, 

 et l'unité d'aire est le trapèze mixtiligne plan qui a sa base 

 égale à l'unité de longueur, et qui est limité par l'arc d'hyper- 

 cycle dont l'équidistance j; a pour sinus 1. Par suite, Faire de 

 la surface de révolution comprise entre deux parallèles a pour 

 expression 



A =:^f ^IrydS (51') 



Sur les canaux, y est constant et égal à sin ï ou à sh t, et si 

 l'on désigne par h la hauteur du tronc comptée sur l'axe, 



S = A cos Y ou /ichï, 

 donc 



A = jrh sin 2ï ou nh sh 2ï. 



Envisageons le rectangle ABCD de la figure 33, où arc AB -=S . 

 En désignant par S' la longueur de l'arc AD de parallèle, et 

 par A' l'aire du rectangle, on a évidemment 



A' S' 



A circonf. ï 

 donc 



A' = S X S' 



et l'aire du rectangle géodésique égale le produit de ses deux 

 dimensions. En résumé, la géométrie à deux dimensions des 

 figures géodésiques tracées à la surface des canaux est eucli- 

 dienne. 



