(1^8) 

 donc, d'après la formule connue, 



1 -♦- £U^ -4- £U^ 



ds = du = lsa{h fdf . . . (55) 



ih f 



et par suite, quand a est réel, 



sm a 



S = (fif aL = tg aL en f, 



y 



et quand a est idéal 



th o' y 



1 Vo 



S= l- 



44. Courbure des pseudosphères. 



En faisant tourner une tractrice autour de son asymptote ox, 

 la surface de révolution engendrée est une pseudosphère; nous 

 allons prouver d'abord que sa courbure totale en un point 

 quelconque est constante, toujours négative dans l'espace 

 riemannien, tantôt négative, nulle, ou positive, dans l'espace 

 lobatchefskien. En effet, MN (fig. 36 et 37) étant la normale en 

 un point quelconque M limitée à l'asymptote, et le méridien 

 Mox étant un plan de symétrie de la surface, les rayons de 

 courbure principaux en M sont : celui de C, et d'après le 

 théorème de Meusnier, MN; on a donc, dans le cas de a réel, 



tg MN X tg Ma = — sin^ MT = — sin^a, 



et pour a idéal, ainsi que Mw, 



ih MN 



= cli^MD = chV, 



th Mal 



donc la courbure totale vaut, dans le premier cas-:r-:r-ou -r^, 



i siii"ci sn—tz 



et dans le second, ^p^. En particulier, elle est nulle pour 

 a-^œ^ cas où la tractrice est une droite, et la pseudosphère 

 un cône dont toutes les génératrices sont parallèles à l'axe. 

 Les lignes géodésiques de la pseiidosplière forment sur cette 



