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hauteur h. Moyennant ceci, le volume du cône de hauteur H, 

 et dont l'arête, de longueur D, fait avec la hauteur l'angle 

 constant 9, est déterminé par l'intégrale 



/•" r 



V = / 4r sin'^ - cos'' pdp = ?rt(H — I) cos ô), 



o 



r désignant le rayon de base du cylindre qui contient le 

 parallèle du cône dont tous les points sont k la distance J9 du 

 plan de base. L'arc ^/S d'hypercycle tournant autour de son 

 axe engendre un volume composé de deux cônes égaux et 

 d'un secteur sphérique, et si l'on désigne par p l'équidistance 

 de l'hypercycle, par cVk la distance des sections droites 

 extrêmes, le volume de la tranche de canal qui a d\ pour 

 hauteur est représenté par 



dY = X s\n' pdX\ 



donc le volume d'une tranche de canal égale le produit de sa 

 hauteur par le quart de l'aire du cercle de rayon double, ou 

 encore le produit de l'aire latérale par la demi- tangente du 

 rayon. L'espace riemannien entier, pour p = J, et X = Stt, 

 vaut donc Sti^ Ceci posé, l'arc de courbe dS quelconque tour- 

 nant autour de l'axe ox engendre une zone élémentaire qui 

 peut être considérée comme appartenant au canal de rayon 

 égal à son ordonnée, et le volume élémentaire qu'elle ren- 

 ferme est 



dW = TTl/dX, 



d'où 



=r\fd\. 



y étant une fonction déterminée de l'abscisse X. Pour appliquer 

 ceci ^ la pseudosphère, appelons Z la projection de la tangente 

 constante sur l'axe; un calcul facile donne, pour a réel, 



\fd\ = l^'Zdl; 



