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Celle qui a peut-être le plus d'intérêt par le nombre considé- 

 rable de travaux auxquels elle a donné lieu, s'exprime par le 

 théorème suivant : 



Le nombre des no^nbres premiers inférieurs ù \ a pour expres- 

 sion astjmptotique, lorsque x esl (jrand, 



r'-'du f du 



l+ï 



avecnne erreur qui devient infiniment pelite par rapport ù Li (x) 

 quand x tend vers l'infini. 



La démonstration de ce théorème a été publiée pour la pre- 

 mière fois dans un article de M. von Mangoldt (*). 



On trouve aussi dans cet article des renseignements histo- 

 riques qu'il est intéressant de reproduire (**). 



Le pressentiment du théorème précédent a été d'abord 

 exprimé par Dirichlet en 1838 ***), puis par Gauss en 1849 (iv). 

 C'est Tchebychev qui a le premier donné deux limites certaines 

 où Ton peut renfermer le nombre des nombres premiers (v). 

 Mais cet intervalle, quand x croît indéfiniment, n'est pas une 

 fraction infiniment petite de sa limite supérieure, car il 

 reste égal au -^ au moins de cette limite. Sylvester, dans 



(*) Ueber eine Amvendung der Riemann sche Formel fur dieAnzahl der 

 Primzahlen miter einer gegebenen Grenze. (Journ. f. d. reine u. angew. 

 Math., Bd 119.) 



(**/ On lira aussi avec intérêt, à ce point de vue, le savant rapport de 

 M. Mansion sui' notre Mémoire. 



(***/ Lejeune-Dirichlet. Werke, Bd I, 2^ note, p. 372. 



(IV) Lettre à Encke. Werke, Bd II, pp. 444-447. 



(v) Journal de matkématigues, t. XVII, 1852, p. 389. 



