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son article sur le travail de Tchebychev (*) n'a pas réussi à 

 pousser plus loin l'approximation. On voyait donc bien que 

 Lî (a:) représentait approximativement le nombre des nombres 

 premiers <x, mais on n'avait pas encore pu démontrer que 

 l'approximation surpassât ^- Le travail de Riemann, qui 

 devaitfinalementconduireà la solution du problème, était resté, 

 jusque dans ces derniers temps, compliqué de difficultés qu'on 

 ne savait surmonter. C'est la résolution au moins partielle de 

 ces difficultés qui a permis d'établir le théorème rappelé 

 ci-dessus et dont l'importance ne peut échapper, puisqu'il 

 exprime que le logarithme intégral est, au sens mathéma- 

 tique du mot, l'expression asymptotique du nombre des 

 nombres premiers < a:, c'est-à-dire que l'erreur commise est 

 infiniment petite par rapport h lui. 



Lorsque l'on cherche à exprimer Li{x) sous forme tinie, on 

 trouve une suite de termes de la forme 



X X îlx 2 ôx 



Ix {Ixr [Ixf {IxY 



Le premier terme est la valeur principale de Li{x} et fournit 

 donc aussi une expression asymptotique du nombre des 

 nombres premiers < x. C'est ce que j'ai montré directement 

 dans une note à la fin de l'article de M. von Mangoldt cité plus 

 haut. 



Le seul fait que 'Ç(s) n'a pas de racines de la forme 1 -4- 3i 

 ne permet pas de décider laquelle des deux expressions — ou 

 Li{x) est l'expression asymptotique la plus exacte. 



(*) On Tchebycheffs' theorem cf tlie totalyty of the primmnnhers com- 

 prised within given limits. ; American journal of Mathematics, vol. IV, 

 1881, pp. 230-247.) 



