( fi ) 



Pour pouvoir trancher la question, il faut savoir trouver une 

 limite supérieure < 1 des parties réelles a des racines imagi- 

 naires a H- 3i des(s). C'est ce qui n'était fait ni dans mon 

 Mémoire ni dans celui de M. Hadamard. C'est ce qui est fait 

 dans celui-ci, où nous donnons une limite inférieure de 1 — a. 

 Cette limite fournie par le théorème du n° 30 est très petite, 

 il est vrai, dépend de p et tend vers zéro quand [^ augmente. 

 Elle n'en a pas moins une très grande valeur. Elle nous per- 

 mettra de démontrer que Liix) représente le nombre F(x) des 

 nombres premiers < x avec une erreur qui ne peut surpasser 

 une quantité de la forme. 



IJC 



où a et h sont des nombres fixes, et que, par conséquent, le 

 logariUime intégral est une expression asijmptolique de F [x) plus 

 exacte que loutt'S ses expressions possibles sous forme finie. 



La méthode que nous allons suivre s'étend d'elle-même aux 

 nombres premiers de la progression arithmétique. Nous y 

 reviendrons plus tard. 



