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3. Ces racines jouissent des propriétés suivantes : 

 i** Elles sont conjuguées deux à deux; 



2" A toute racine p correspond une racine 1 — p ; 



3<» Si la partie réelle a de p n'est pas ^, les racines p et 1 — p 

 forment avec leurs conjuguées un système de quatre racines 

 distinctes : 



a -4- (3/ a — pi 



1 — a -4- Si \ — a — pi. 



4° M. Van Mangoldt a démontré que la valeur absolue de [3 

 est toujours supérieure à 12 (*). 



4. La dérivée logarithmique de Ç (s) vérifie la relation 



(2) i^=ilog. î Dlo^.rfî-i- 0-4-^-1-, 



où les racines p doivent être rangées par ordre de modules 

 croissants. 



On en tire, en remplaçant VS par sa valeur obtenue par 

 la diiférentiation du produit infini (1), 



(3) yJ-^=— — iiogT-4-Dioçç.rf--*- i]-y-^- 



Cette formule va jouer un rôle important dans notre étude. 

 Nous allons d'abord en déduire une conséquence utile. 



5. Cas pari icii tiers de la formule (3). J'ai démontré dans mon 

 Mémoire sur la fonction Ç {s), au n» 54, que l'on a 



\\m 1 1 = C, 



.=1 \çs s— i 



(*) Zu Riemanns Abhandiung : Ueber die An.zafU der Primzalilen unter 

 einer gegebenen Grosse. (Journ. fur die reine und angew. Mathematik, 

 Bd. 114.) 



