( 20 ) 



la dernière somme s'étendant à toute les puissances ^t;* des 

 nombres premiers. 



Nous aurons, dans ce paragraphe, à considérer une série 

 d'inégalités. Pour en simplifier l'écriture, nous conviendrons 

 que lorsque nous écrirons des inégalités entre quantités imagi- 

 naires, ces inégalités se rapporteront toujours aux parties 

 réelles des deuxj membres. 



Soit, comme dans les paragraphes précédents, s = u -*- ti, 

 où u et t sont réels ; on aura d'abord 



Ip 





car cette inégalité revient, par la convention qui précède, à 



cos(intlp)] > 0, 





qui est évidente, tous les termes de la somme étant positifs. 



Changeons s en u dans la formule (19) et ajoutons membre 

 a membre; on aura, en vertu de l'inégalité précédente. 



(20). 



2 



< 



s — p 



— lyr-k- 



il 



'■'î 



M— 1 



"i- 



) WJ-) 



16. C'est sur cette inégalité (20) que nous allons raisonner 

 pour trouver une limite inférieure de P quand a diffère de i. 

 Pour cela nous supposerons que a h- pi est une racine de ^s 

 où a diffère de i et où p > 0, et nous poserons, dans la for- 



déduit la limite inférieure de p d'une formule que nous établirons plus 

 loin. (Voir le Rapport de M. Mansion.) La méthode nouvelle exposée dans 

 ce paragraphe fournit une limite un peu plus élevée. 



