DEUXIEME PARTIE. 



Lois asymptotlques relatives aux nombres premiers. 



CHAPITRE m. 



ÉVALUATION DE QUELQUES SOMMES OU FIGURENT LES KACINES p. 



§ 1. Évaluation de la somme ^ ^^37~ ' 



33. La somme indiquée dans le titre de ce paragraphe est 

 supposée s'étendre à toutes les racines p = a -+- Si pour les- 

 quelles p est positif et > b. Nous supposerons que b est assez 

 grand pour que l'on puisse appliquer l'inégalité (54) du n« 32 

 dans tous les termes de cette somme. 



34. Rappelons d'abord un théorème établi par M. von Man- 

 (joldt et que nous aurons à appliquer (*) : 



Si het \i sont deux nombres réels vérifiant la condition 



tg 1 = l,o54l ^k^h —4, 



le nombre des racines a -+- ;3i, pour lesquelles ,3 est compris entre 

 h — k e< h -+- k, est inférieur d klh. 



35. Pour utiliser ce théorème, écrivons la somme à évaluer 

 sous la forme suivante : 



Z gi + 6 • pl-£ 



OÙO < £ < 1. 



(•) Zu Riemanns Abhandlung : Ueber die AnzahL der Primzahlen 

 unter einer gegebenen Grosse. Journ. f. die r. u. a. Math., B. CXIV, p. 265. 



