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D'après cette définition, on a, s étant une variable réelle ou 

 imaginaire dont la partie réelle est supérieure à l'unité, 



}f-^{-îh 



1 



m 



Si la série, qui est au premier membre, converge pour .s = 1, 

 il résulte de cette relation que sa valeur sera 0, mais le point 

 délicat est de prouver la convergence. 



69. Euler paraît être le premier qui ait considéré cette série, 

 et il a affirmé le résultat auquel nous venons de faire allusion, 

 mais sans l'établir rigoureusement (*). 



Quoique de nombreux mathématiciens, Mertens, Stieltjes, 

 Gram, etc., se soient occupés de cette fonction, la démonstration 

 du théorème énoncé par Euler n'a été établie que dans ces tout 

 derniers temps par M. von Mangolàt (**). 



La démonstration de M. von Mangoldt est assez détournée 

 et d'ailleurs elle se borne strictement à établir la convergence 

 de la série, sans fournir aucune approximation de la rapidité 

 de la convergence. Nous pensons donc qu'il y a quelque intérêt 

 à revenir sur cette question, d'abord pour présenter une 

 démonstration plus directe et plus simple, ensuite pour 

 donner une limite supérieure du reste de cette série, ce qui 

 n'a pas encore été fait jusqu'à présent. 



70. Difiérentions l'équation. 



où dR [S] > 'l ; il vient, en changeant les signes, 



(*) Introductio in analijsis infinitonun, t. I. Lausanne, 1748, Cap. XV, 

 n- 277. 



-(**) Sitzungsberichte der K. P. Akademie der \Yiss. zu Berlin, 

 22 Juli 1897. (Voir aussi cet article pour les renseignements bibliogra- 

 phiques.) 



