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LE SYSTÈME FOCAL 



Dans notre mémoire : Les Imaginaires en Géométrie, nous 

 avons déterminé les groupes représentatifs des éléments ima- 

 ginaires d'une courbe gauche du troisième ordre, et démontré 

 leurs principales propriétés. Il restait à établir les théorèmes 

 fondamentaux du système focal (*), dont les tangentes à la 

 cubique gauche sont des directrices, indépendamment de la 

 réalité des éléments considérés. Tel est le but de la présente 

 note; elle renferme une méthode particulièrement simple, 

 pour la recherche des relations métriques dans le complexe 

 linéaire. 



§ I- 



i. Soient X, Y deux points réels ou imaginaires conjugués 

 d'une courbe gauche du troisième ordre; x, y les plans 

 osculateurs à la courbe en ces points. Un plan réel , mené 

 par la droite XY, rencontre la courbe en un point réel M, 

 et la droite (xy) en un point appartenant au plan oscula- 



(*) Le système focal et ses propriétés les plus importantes ont été 

 découvertes par Môbius (Journal de Crelle, t. X, p. 317). Chasles les 

 retrouva dans l'étude du déplacement d'un solide invariable {Aperça 

 historique. Bruxelles, 1837, p. 674). Enfin, dans un mémoire sur les 

 cubiques gauches {Journal de Liouville, 2 e série, t. II', Chasles énonça le 

 théorème suivant : Les points d'une courbe gauche du troisième ordre, 

 étant considérés comme formant une première figure, les plans osculateurs 

 en ces points forment une figure corrélative. Ces deux figures furent 

 étudiées par H. Schroeter (Journal de Crelle, t. LVI, p. 27). 



