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teur au point M ; car les plans oscillateurs à la cubique aux 

 points X, Y, M se coupent en un point du plan (XYM) (*). 

 Donc les plans réels osculateurs à la cubique décrivent sur la 

 droite (xy), une ponctuelle perspective au faisceau de plans, 

 qui projette leurs points de contact de la sécante réelle ou 

 idéale XY. ~ 



Mais si XY, X,Y, sont deux sécantes, l'une réelle, l'autre 

 idéale, les faisceaux qui projettent de ces droites les points de 

 la cubique, sont projectifs (**) ; par conséquent les plans oscu- 

 lateurs réels décrivent sur les intersections (xy) et (#,t/,), des 

 plans osculateurs aux points X et Y, X, et Y„ deux ponctuelles 

 projectives. 



Soient M, N, ... des points de la cubique gauche, M' et M", 

 N' et N", ... les points d'intersection des droites (xy) et (x t y t ) 

 avec les plans osculateurs aux points M, N, ... Les droites M'M", 

 N'N", ... sont des génératrices d'un hyperboloïde (H), inscrit 

 dans la développable osculatrice à la cubique. Le plan n oscu- 

 lateur à la courbe au point N rencontre la droite M'M" en un 

 point K, par lequel passe un troisième plan osculateur réel n t . 

 Ce plan ?i, est tangent à l'hyperboloïde (H), et ne peut contenir 

 la génératrice M'M" ; il passe donc par la seconde génératrice 

 issue du point K. Cette génératrice est la droite (nn t ). 



Cela étant, soit (ABCD) un groupe représentatif sur la cubique 

 d'un point imaginaire de celte courbe. Les plans osculateurs 

 aux points A, B, C, D déterminent sur les droites (xy) et (nn,) 

 les points A' et A„ B' et B„ C et C„ D' et D, tels que (A'B'C'D ) 

 et (A,B,C,D,), sont deux points imaginaires du plan osculateur 

 à la cubique au point (ABCD) (***). Les droites A'Aj, B'B,, 

 C d, D'D, rencontrent (x i y l ) aux points A", B ', C", D" et le 

 point (A"B"C"D") appartient à la droite imaginaire de seconde 

 espèce, déterminée par les deux points (A'B'C'D') et (AjB^D,). 



(*) Servais, Les imaginaires en géométrie (Mémoires in-8° de l'Aca- 

 démie royale de Belgique, t. XLIX, Éléments imaginaires dans les 

 courbes gauches du troisième ordre, § I, n os 3 et 6). 



C) Idem, loc. cit., § I, n° 7. 



(***) Idem, loc. cit., § IV, n° i. 



