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Le point (A"B"C"D") est done situe dans le plan oscillateur au 

 point (ABCD). Par conséquent : 



Si (ABCD) est un groupe représentatif sur la cubique d'un point 

 imaginaire, les plans oscillateurs à la courbe aux points A, B, C, [) 

 déterminent sur l'intersection de deux plans oscillateurs réels ou 

 imaginaires conjugués, un groupe représentatif d'un point du 

 plan oscillateur au point (ABCD). 



Corollaire. Les plans osculateurs réels ou imaginaires déter- 

 minent sur les droites (xy) et (x l y i ) deux ponctuelles projectives. 



2. Les points de contact des plans osculateurs, menés du 

 point à une courbe gauche du troisième ordre, sont dans 

 un plan passant par le point (*). On donne à ce point et 

 au plan les noms de pôle et plan polaire. Tout pôle est situé 

 dans son plan polaire. 



Soit un plan imaginaire (MNPQ), situé sur l'intersection 

 de deux plans osculateurs, dont les points de contact E et F 

 sont réels ou imaginaires conjugués. Les plans polaires des 

 points M, N, P, Q forment le faisceau EF(MNPQ). Ce groupe 

 sera, par définition, un groupe représentatif du plan polaire 

 du point imaginaire (MNPQ). 



Si un plan oscillateur imaginaire passe par le point imaginaire 

 (MNPQ), son point de contact est dans le plan polaire EF(MNPQ). 



Soit (ABCD) un groupe représentatif sur la cubique, du point 

 dont le plan oscu'atcur passe par le point imaginaire (MNPQ). 

 Les plans osculateurs aux points A, B, C, D déterminent sur 

 la droite MN un groupe représentatif du point d'intersection 

 de cette droite, avec le plan osculaleur au point (ABCD), (n° 1). 

 L'hypothèse permet donc de supposer que les plans oscula- 

 teurs aux points A, B, C, D passent respectivement par les 

 points M, N, P, Q. De celte supposition résulte que le plan EFM 

 passe par le point A; mais la droite EF est une sécante réelle 

 ou idéale, donc le plan EF (ABCD) ou EF (MNPQ) passe par le 

 point imaginaire (ABCD) (**). 



(*) Servais, loc. cit., § IV, n * 8 et 9. 



O Idem, loc. cit., § I, n° 8. 1. 



