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3. Soient EF, E,Fj deux sécantes réelles ou idéales, e<p et b,^, 

 les intersections des plans osculateurs aux points EF, E,F t . Les 

 quatre droites EF, E^, e-p, E,cp< appartiennent à un même 

 système réglé. 



Ces droites sont des directrices du système involutif gauche, 

 ayant pour axes les droites associées réelles ou imaginaires 

 conjuguées, s'appuyant sur la cubique aux points doubles de 

 l'involution (EF, E.F.) (*). 



Si EF est une sécante réelle, le plan osculateur au point E 

 détermine sur la sécante E,F, un point réel S. La droite SE 

 située dans le plan polaire du point S, et dans le plan oscula- 

 teur au point E, rencontre les droites e,<p, et e?. Les quatre 

 droites EF, EjFj, £?, e^, sont donc hyberboloïdiques, si EF 

 est une sécante réelle. 



Si la droite EF est une sécante idéale, le plan osculateur au 

 point E détermine sur la droite E t <p, le point imaginaire (MNPQ), 

 dont le plan polaire E,F, (MNPQ) passe par le point E (n° 2). 

 Les quatre droites EF, E^, sep, s^, appartiennent donc au 

 système involutif gauche, déterminé par les deux points ima- 

 ginaires E et (MNPQ). Mais ce sont des directrices d'un second 

 système involutif gauche, elles sont donc hyperboloïdiques. 



4. Si le plan polaire du point réel passe par le point réel 0,, 

 celui du point 0, passe par la point 0. 



Menons par les points considérés et Oi les sécantes réelles 

 ou idéales EF, EjF,, et soient sep, s^ les intersections des plans 

 osculateurs aux points E et F, E, et F,. La droite 00i rencon- 

 trant par hypothèse la droite £cp, s'appuiera sur la droite êj©, 

 (n° 3). Le plan 0,£,'f ,, qui est le plan polaire du point t , passe 

 donc par le point 0. 



Corollaires. I. Si un point décrit une droite /, son plan 

 polaire tourne autour d'une droite /'. Ces deux droites / et /' 

 sont dites conjugées dans le système focal. 



IL La ponctuelle des pôles est perspective au faisceau des 

 plans polaires. 



O Servais, loc. cit., § VII, n° 1. 



