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5. Soit (ABCD) un groupe représentatif d'un point imagi- 

 naire; les plans polaires a, j3, y, 8 des points A, B, C, D forment 

 un faisceau (aSyS) perspectif à la ponctuelle (ABCD). Le plan 

 imaginaire (apy8) est, par définition, le plan polaire du 

 point (ABCD). On déduit de là : 



Le plan polaire d'un point imaginaire passe par ce point. 

 Le plan polaire d'un point imaginaire de la cubique gauche 

 est le plan oscillateur en ce point. 



6. Si un point imaginaire (AiB^J),) est situé dans le plan 

 polaire (aâyo) du point (ABCD), ce dernier point sera situé 

 dans le plan polaire (a^y.S.) du point (A,B,C,D,). Supposons 

 que les groupes (A^C^) et (aJ3yo) soient perspectifs, alors 

 (n° 4) les points A, B, C, D seront respectivement situés sur 

 les plans a t , (3 t , y t , 8 f ; par conséquent le plan polaire (a^y^) 

 du point (AiB^^i) passe par le point (ABCD). 



Corollaires. I. Les points de contact des plans oscillateurs 

 qui passent par un point imaginaire, sont situés dans le plan 

 polaire de ce point. 



II. Si un point décrit une droite imaginaire, son plan polaire 

 passe par une autre droite imaginaire. 



Ces droites imaginaires sont conjuguées dans le système 

 focal. 



III. Toute droite imaginaire située dans le plan polaire d'un 

 de ses points, est une directrice du système focal. 



Elle coïncide avec la droite, qui lui est conjuguée dans le 

 système focal. 



IV. Par un point imaginaire passe une sécante réelle, idéale 

 ou imaginaire de la cubique. Les plans osculateurs aux points 

 d'appui, se coupent dans le plan polaire du point considéré. 



Tout plan imaginaire renferme donc l'intersection de deux 

 plans osculateurs à la cubique. 



7. Soient /, m deux droites imaginaires, /' et m' leurs conju- 

 guées dans le système focal; les droites /, m, /', m' sont hyper- 

 boloïdiques. Un plan quelconque tt, mené par la droite /', 



