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rèmes suivants, qui établissent la projectivité du rapport anhar- 

 monique imaginaire : Un qualerne de droites imaginaires, à 

 centre réel ou imaginaire, est coupé par une sécante réelle en 

 quatre points, dont le rapport anharmonique est constant. Ce 

 rapport est, par définition, celui des quatre droites. Si par 

 quatre points situés sur une même droite imaginaire, on mène 

 quatre droites passant par un même point réel ou imagi- 

 naire, le rapport anharmonique de ce quaterne de droites est 

 constant. Ce rapport est, par définition, celui des quatre 

 points. 



L'expression K = -. : & est égale au module de la valeur 

 analytique du rapport anharmonique des quatre points, et 

 l'angle X = < 8ay — 8j3y est égal à l'argument. La définition 

 géométrique précédente du rapport anharmonique, donne ainsi 

 une solution de l'interprétation réelle du rapport anharmo- 

 nique imaginaire. Cette interprétation est l'objet d'une étude 

 analytique : Vorlesungen uber géométrie von Alfred Clebsch 

 bearbeitet von D r Ferdinand Lindemann, t. II, p. 115. La solu- 

 tion est basée sur l'addition et la multiplication des rapports 

 anharmoniques, opérations identiques à celles que von Staudt 

 a définies pour les groupes (Wûrf) (*). 



La première partie de notre travail est consacrée à l'étude 

 du rapport anharmonique réel, imaginaire ou purement ima- 

 ginaire, de quatre éléments imaginaires P^Q^S, et du sens du 

 groupe formé par ces éléments. Nous avons déterminé par 

 des constructions simples, des rapports anharmoniques réels 

 égaux à la partie réelle, au coefficient de la partie imaginaire 

 et au module du rapport anharmonique. Les relations con- 

 nues, qui lient les rapports anharmoniques fondamentaux 

 réels, ont été généralisées pour les rapports anharmoniques 

 imaginaires. 



La projectivité du rapport anharmonique imaginaire, et la 

 généralisation du théorème : « Les faisceaux qui projettent de 

 deux points d'une conique tous les points de la courbe, sont 



0) von Staudt, loc. cit., §§ 19, 20 et 21. • 



