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points P, Q, R, (ABCD), on détermine les points P 4 et Q t . L'in- 

 volution (PP 4 , QQ d ), associée au sens A,B 1 C 1 , représente un point 

 imaginaire situé sur l'élément S„ que l'on veut déterminer. 

 La condition de réalité du rapport anharmonique est 



(PQRP 1 ) = (PQRQ 1 ). 



Les points V l et Q t sont alors coïncidents, et l'involution 

 (PPi, QQi) se réduit à un point double S, et à une ponctuelle; 

 le groupe (P.Q.R.S.) est donc un groupe neutre. 



2. Deux points S et T, séparés par la conique 2, sont les 

 supports de deux rayons du faisceau ayant pour centre (ABCD). 

 L'un de ces rayons est situé dans le sens P.Q.R,, l'autre dans le 

 sens R.Q.P,. 



Soient (A'B CD'), (A^C^), (A 2 B 2 G 2 D 8 ) des groupes repré- 

 sentatifs sur la conique £, du point (ABCD) et de ses corres- 

 pondants, dans les involutions ayant respectivement pour 

 pôles les points S et T. Si l'involution ayant pour pôle le 

 point S est elliptique, les sens A'B'C et AjB,^ sont concor- 

 dants. Mais dans ce cas la seconde involution est hyperbo- 

 lique, et les sens A'B'C et A 2 B 2 C> sont opposés; ce qui établit 

 le théorème. 



3. Faisceau de quatre plans passant par une droite imaginaire 

 de seconde espèce. (Voir fig. 1.) Les supports p, q, r, s de ces 

 quatre plans sont des directrices du système involutif gauche, 

 qui, associé à un certain sens, représente la droite imaginaire 

 considérée. Nous représenterons ces plans par les notations 

 Pu Qh r» s f . Les supports /;, ç, r déterminent un système réglé, 

 dont la droite imaginaire est une directrice. Si la droite s fait 

 partie du système réglé, les quatre plans p { , q h r,-, s t forment 

 un groupe neutre; et le rapport anharmonique des quatre 

 rayons p, q, r, s du système réglé est, par définition, le rapport 

 anharmonique du faisceau imaginaire (pfljrflji 



Si la droite 6' n'appartient pas au système réglé, le plan s, 



