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5. Considérons les deux groupes P.Q.RjS, etpfl,r# t . S'ils sont 



neutres, l'égalité des rapports anharmoniques sera exprimée 



par 



(PQRS; = (pqrs). 



Dans le cas contraire, régalitè des rapports anharmoniques 

 exige que les sens PQR et A^Cj, pqr et a 1 & i c, soient simulta- 

 nément concordants ou opposés, et que les égalités 



(PQRP 1 ) = (p Wl ), 

 (PQRQi) = (/"/"/,) 

 soient satisfaites. 



Symboliquement, on écrira : 



(l > ,Q < R,S i )=(M,r,s | .). 



Il résulte de cette définition que la projectivité du rapport 

 anharmonique, établie dans les paragraphes qui suivent, 

 entraîne la projectivité du sens, tel que nous Pavons défini. 



6. Deux faisceaux perspectifs, l'un formé de quatre plans 

 passant par une droite imaginaire de première ou de seconde 

 espèce, l'autre de quatre rayons passant par un point imaginaire, 

 ont même rapport anharmonique. (Voir fig. 1.) 



Soient P, Q, R, S les supports des quatre rayons P,, Q,, R„ S„ 

 (ABCD) le centre du faisceau. Projetons ces rayons d'un point 

 imaginaire (MNMjN,), dont le support ne rencontre pas la 

 droite AB. Les supports p, </, r, s des quatre plans;;,-, q n r„ s„ 

 ainsi obtenus passent par les points P, Q, R, S, et sont des 

 directrices du système involutif gauche, déterminé par les 

 points (ABCD) et (MNM|N,). Le système réglé pqr passe donc 

 par la conique ï, déterminée par les points P, Q, R, (ABCD); 

 et si le point S est situé sur cette conique, la droite s sera une 

 génératrice du système réglé pqr. Les deux groupes (P,Q,R,S,) 

 et(jV7,r,s,) sont donc neutres simultanément, et leurs rapports 

 anharmoniques sont égaux. 



Dans l'autre hypothèse, le plan s t contient une directrice et 



