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une génératrice imaginaires du système réglé. La directrice 

 est la droite qui joint les points (ABCD) et (MNM,N,); la géné- 

 ratrice s'appuiera donc sur la conique S, au point (A^CJJ,) 

 correspondant au point (ABCD), dans l'involution ayant pour 

 pôle le point S. 



Soient l\ et Q, les conjugués des points P et Q, dans l'involu- 

 tion (AjCi, B 1 D 1 ). Si on mène par les points A,, B,, C 1} D 4 , P,, Q, 

 les génératrices a u />,, c,, cU, p l} q v du système réglé pqr, («i&,c,*/t) 

 sera le groupe représentatif de la génératrice imaginaire située 

 dans le plan s t , et;;,, <y t seront les rayons conjugués de p et q 

 dans le système réglé involutif (a^, Mi)- Les égalités 



(PQRP*) — (WPO. 



(PQRQ.) = (pqrqù 



sont donc vérifiées. Mais les sens ajfic lt pqr sont concordants 

 ou opposés, en même temps que les sens A^C,, PQR; le 

 théorème est donc établi, dans le cas où le faisceau de plans 

 a pour axe une droite imaginaire de seconde espèce. 



Projetons les quatre rayons P,, Q,, R,-, S,- d'un point réel E, 

 non situé dans le plan PQR; les supports/?, q, r, s des quatre 

 plans ainsi obtenus, sont les droites PE, QE, Rti, SE; donc 

 le cône ayant pour génératrices p, ry, r, E(ABGD), passe par la 

 conique S déterminée par les points P, Q, R, (ABCD). Si le 

 point S est sur la conique £, le rayon s est sur le cône et les 

 deux groupes (P.QjR.S.) et ;v/.r,s«) sont neutres. On voit aisé- 

 ment que leurs rapports anharmoniques sont égaux. Dans le 

 cas contraire, E(A 1 B,C 1 D 1 ) est la génératrice qui correspond 

 à E(ABCD), dans l'involution ayant pour rayon polaire la 

 droite s. Les rayons p { et q iy conjugués à p et q dans l'involu- 

 tion E(A,C,, B,D,), sont respectivement EP t et EQ t ; on a donc : 



(PQW? l )=(pqrp i ) 1 

 (PQRQi) = (W7i)- 



Mais les sens pqr et E(A 1 B,Ci) sont concordants ou opposés 

 en même temps que les sens PQR et AiBA; le théorème est 



