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positif (PQRM) est appelé le facteur réel du rapport anharmo- 

 nique purement imaginaire (P^Q.RiS,), si l'élément S,- est dans 

 le sens P.Q.Ri; dans le cas contraire, le facteur réel sera le 

 rapport anharmonique négatif (PQRMO- 



Définition. Deux rapports anharmoniques purement ima- 

 ginaires sont égaux, si leurs facteurs réels sont égaux et de 

 même signe. 



Théorème. Le rapport anharmonique purement imaginaire 

 est projectif. Mêmes démonstrations que dans le paragraphe 

 précédent. 



§ III. 



Rapports anharmoniques fondamentaux. 



1. Étant donnés quatre éléments A, B, C, D d'une forme 

 imaginaire du premier rang (voir fig. 4), les rapports anhar- 

 moniques suivants sont égaux entre eux : 



(ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA). 



Le théorème est vrai si le rapport anharmonique est réel. 

 Dans le cas où il est imaginaire, de la forme donnée, on peut 

 déduire par la perspectivité, ce qui ne change pas la valeur 

 des rapports anharmoniques que l'on considère, une ponc- 

 tuelle AiBjC^Dj, les éléments A lt B lt Dj étant réels. Ainsi, s'il 

 s'agit d'une ponctuelle, on la projette d'une droite imaginaire 

 de seconde espèce, suivant un faisceau de plans ayant pour 

 supports p, q, r, s. Une directrice du système réglé pqr, est le 

 support d'une ponctuelle perspective au faisceau, et conforme à 

 la condition énoncée. 



Menons par les points Bi et D t deux droites réelles se cou- 

 pant au point D 2 . Si M est un point réel de la droite DjD,,, 

 A 2 et C 2 les points d'intersection des droites MA t et MCi avec la 

 droite BjD*, les deux formes (AiBjCjDi) et (A^GA) sont per- 

 spectives et on a 



(A.B.C.D,) = (A.BAD,). 



