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Soit A 3 le point commun aux droites MD, et A 2 C„ le point C, 

 est le centre de perspectivité des formes (A 2 B,C 2 D 2 ) et (AsD^D^), 

 le point A a celui des formes (A 3 DiMD 2 ) et (CjD^Bj); on a donc 



(A 2 B,C 2 D 2 ) = (A 5 D,MD,) = (C.DjA.B,); 



par conséquent 



(A.B.C.D, = (C.D.A.B,). 



2. L'égalité 



(ABCD) = (BADC), 



appliquée à un faisceau à centre imaginaire, et situé dans un 

 plan réel, démontre le théorème : 



Soient P, Q, R, S, I quatre points réels et un point imaginaire 

 situés dans un même plan, X, et £ 2 les coniques circonscrites aux 

 triangles PQR et PQS et passant par le point I. Les droites SI 

 et RI rencontrent respectivement les coniques D, et 2 2 , «wa; points 

 imaginaires U et L, définis par les involutions (PP 4 , QQO et 

 (PP 2 , QQ 2 ), associées aux sens LjMjNj et L 2 M 2 N 2 , sur les coniques £, 

 et S 2 . On a 



(PQRP 1 ) = (QPSQ 2 ); 



(PQRQO = (QPSP 2 ). 



Les sens PQR e£ L I M 1 N,, QPS et L 2 M 2 N 2 sont simultanément 

 concordants ou opposés. 



3. Rapport harmonique. Nous supposons, dans ce qui suit, 

 ce qui n'enlève rien à la généralité des résultats, que les élé- 

 ments A, B, C, D sont les rayons du faisceau considéré (n° 2), 

 et que les sens PQR et LAN, sont concordants. 



Les rapports anharmoniques distincts sont : 



(ABCD), (BACD), 

 (ACDB), (CADB), 

 (ADBC), (DABC). 



Le rapport anharmonique (ABCD) est défini par les rapports 

 >i = (PQRPi), * 2 =(PQRQ,), 

 associés à la concordance des sens PQR et L,M,N,. 



