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Le rapport anharmonique (BACD) est défini par les rapports 

 *-=(QPRQ,). ^-(QPRPi), 



associés à l'opposition des sens QPH et LjM,N,. 

 Ces rapports sont liés entre eux par les relations 



L'égalité 



(ABCD) == (BACD) 



est impossible aussi longtemps que (ABCD) n'est pas un 

 groupe neutre; car les sens PQR et LjMjN,, QPR et LAN, ne 

 peuvent pas être simultanément concordants ou opposés. Il 

 résulte de là que si cette égalité existe, le groupe (ABCD) est 

 neutre, et dans ce cas l'égalité 



(PQRS) = (QPRS), 



exprime que le rapport (PQRS) ou (ABCD) est harmonique. 



Propriété du quadrilatère complet. (Voir fig. 5\) Soient ABA'B' 

 les sommets d'un quadrilatère imaginaire; E, F, D, ceux du 

 triangle diagonal (nous supposons le point D situé sur AB) ; 

 C et C, les points de rencontre des droites AB, A'B' avec la 

 droite EF, on a 



(ABCD) = (A'B'C'D), 

 (A'B'C'D) = (BACD); 

 donc 



(ABCD) = (BACD); 



par conséquent (ABCD) est un groupe harmonique. 



4. Relations entre les rapports anharmoniques fondamentaux. 

 Soit R, le conjugué du point R dans l'involution (PP,, QQ,) ; 

 les rapports anharmoniques (ACDB) et (ADBC), respectivement 

 égaux à (CABD) et (BCAD), seront définis par les rapports 



v, = (RPQB t ), * = (RPQP,), 

 Pl = (QRPQ,), p 2 = (QBPR,); 



(*) D'après le n<> 4, § VIII, ces égalités montrent que le produit des 

 modules des rapports anharmoniques (ABCD) et (BACD), est égal à l'unité. 



