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§ vu. 



Projectivité cyclique. 



1. Soient A, B, C trois éléments imaginaires d'une forme 

 fondamentale ; les couples d'éléments AB, BC, CA définissent 

 une projectivité cyclique, dont nous représenterons les élé- 

 ments doubles par E et F. Cela étant, on a 



(ABCE) = (BCAE) — CABE), 



donc (n° 5, § III), les éléments A, B, C forment, avec l'un des 

 points doubles E et F, un groupe éqnianliarmonique. 



2. Nous allons déterminer le rapport anharmonique(ABEF). 

 (Voir fig. 11.) On peut supposer que A, B, C, soient les rayons 

 d'un faisceau à centre imaginaire 1, et représenter par P, Q, R 

 les supports de ces rayons. 



Soit 1 la conique circonscrite au triangle PQR, et passant 

 par le centre I du faisceau; E,, F^ les points d'intersection de 

 cette conique avec les rayons E et F. Si K est un point réel de 

 la conique 1, on a (n° G, § IV) : 



K(PQRE i F 1 )ÂI(PQBEiF 1 ); 



par conséquent E, et F, sont sur la conique 2, les points dou- 

 bles de la projectivité cyclique (PQ, QR, KP) ; la droite E^ est 

 donc réelle. Faisons une projection de la conique 2, de telle 

 sorte que la droite E^ passe à l'infini. Nous conserverons les 

 mêmes notations. Les tangentes aux sommets P, Q, R du 

 triangle PQR sont parallèles aux côtés opposés ; donc, si P 2 et Q a 

 sont les milieux des côtés QR et PR, et S le centre de la 

 conique 2, on a : 



PS = 2SP 2 , QS = 2SQ* 



Le rapport anharmonique (ABEF) est égal (n° 1, § I), à 

 celui des quatre points PQE.F, de la conique 2 ou à celui du 



