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suffit de mener la droite SQ rencontrant a- au point S â , et de 

 prendre le conjugué harmonique du point Q, par rapport au 

 couple SS 2 . Les éléments homologues des deux systèmes, plans 

 se correspondent dans une homologie harmonique. 



§ X. 

 Conique imaginaire dans un plan réel. 



I. Dans un plan réel, le lieu géométrique des points d'intersec- 

 tion des rayons homologues de deux faisceaux projectifs de rayons, 

 est une conique. La courbe ainsi engendrée est la figure homo- 

 logique imaginaire d'une conique réelle. Soient P et Q les 

 centres des deux faisceaux, PM et QM deux rayons correspon- 

 dants quelconques, p le rayon du faisceau P, correspondant au 

 rayon QP du faisceau Q. Une conique réelle S tangente à la 

 droite p au point P, coupe la droite PQ en un point Q,, et 

 le rayon PM en un point M t ; les faisceaux décrits par les 

 rayons QM, Q,M d sont projectifs au faisceau décrit par PM, et 

 par conséquent projectifs entre eux. Mais ils ont un rayon 

 commun QQ^ ils sont donc perspectifs et le point d'intersection 

 des rayons QM et Q,M, décrit une droite s. Cela montre que les 

 points M et M t se correspondent dans une homologie, ayant 

 pour centre et pour axe le point P et la droite s, et dans 

 laquelle les points Q et Q,, sont deux points homologues. 



Corollaires. I. Les faisceaux qui jwojettent de deux points R 

 et S d'une conique imaginaire, tous les points de cette courbe, 

 sont projectifs. Au rayon RS du faisceau S correspond un rayon 

 du faisceau R, auquel nous donnons le nom de tangente à la 

 conique au point R. Cette droite ne rencontre la conique ima- 

 ginaire qu'en un seul point, caria droite correspondante dans 

 l'homologie imaginaire, est tangente à la conique réelle. 



II. Deux tangentes fixes à une conique imaginaire sont coupées 

 par les autres tangentes, suivant deux ponctuelles projectives. Les 

 points de contacts correspondent au point d'intersection des 

 deux tangentes fixes. 



