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Les points de contact des deux tangentes fixes correspondent 

 dans la projectivité, au point commun de ces deux droites. 



La série des tangentes est projective à la série des points de 

 contact. 



Les démonstrations des propriétés des coniques imaginaires, 

 basées sur les théorèmes fondamentaux que nous venons d'éta- 

 blir (en particulier la théorie de l'involution sur une conique, 

 la théorie des pôles et polaires), sont les mêmes que pour une 

 conique réelle. 



Nous nous appuierons sur ces propriétés dans le paragraphe 

 suivant. 



§ XIV. 

 Théorèmes généraux sur les cubiques gauches. 



1. Soient P, Q, R, S quatre points réels sur une cubique 

 gauche; une sécante (ou tangente) imaginaire /*, détermine 

 un sytème réglé réel H, passant par la cubique. Car les points 

 d'appui de la sécante, sont correspondants dans une involu- 

 tion réelle. Les directrices p, q, r, s de ce système passant par 

 les points P, Q, R, S sont les supports des plans imaginaires, 

 qui projettent de la sécante //, les points P, Q, R, S et on a 

 (n° 3, § i) : 



A,(PQRS) = {pqrs). 



Soit h une génératrice réelle du système réglé, h' une sécante 

 réelle ou idéale quelconque, on a 



h(PQRS) = (pqrs), 



/i(PQHS) = /i'(PQRS); 

 donc 



/,,(PQRS) = A'(PQRS) [a) 



Soit 1 un point imaginaire de la cubique, ayant pour groupe 

 représentatif (PQPjQ,), p n q u les directrices du système réglé H„ 

 passant par les points P, et Q, ; /^PQP.Q.) ou h [pqp l q i ) est un 

 groupe représentatif du plan /il, parce que h est une sécante 



