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lateur au point A. Démontrons que cette propriété subsiste 

 si les points A et B sont imaginaires. La tangente t a détermine 

 un système réglé réel H 4 , passant par la cubique. Soit s un 

 rayon de ce système, P, Q, R des points réels de la courbe; 

 le faisceau s(PQRA) projette de s les directrices du système 

 réglé, passant par les points P, Q, R, A. Ces directrices proje- 

 tées de la tangente t u , donneront un faisceau projectif au fais- 

 ceau s(PQRA), (n° 6, § IV). Mais la directrice qui passe par le 

 point A, est dans le plan osculateur à la courbe en ce point (*) ; 

 donc au plan sk du faisceau ayant pour axe s, correspond le 

 plan osculateur à la courbe au point A, dans le faisceau pro- 

 jectif ayant pour axe t u . Mais 



s(PQRA)Âf 6 (PQRA); 



donc dans les faisceaux ayant pour axes l a et t b , au plan t b k, 

 correspond le plan osculateur au point A. 



5. Le plan tangent au cône (A) le long de la génératrice t a , est 

 le plan osculateur à la cubique au point A. On suppose le point A 

 imaginaire; soit B un point de la courbe, t b la tangente en ce 

 point, h la droite AB. Si M est un point mobile sur la cubique, 

 les plans / tt M, hM, t b M se correspondent dans trois faisceaux 

 projectifs. Si le point M vient en A, au plan t b k correspond dans 

 les faisceaux ayant pour axes t a et h, respectivement le plan 

 osculateur au point A et le plan tangent au cône (B) le long 

 de la génératrice h. Ce plan tangent est le plan ht a (n° 3); 

 donc le plan hi a et le plan osculateur au point A sont corres- 

 pondants. Mais au plan ht a , correspond le plan tangent au 

 cône (A) le long de l a ; le théorème est donc établi. 



6. Considérons deux faisceaux de plans en involution ayant 

 pour axe une sécante AB de la cubique, les plans conjugués 

 de cette involution rencontreront la courbe en des couples de 

 points MM', NN', PP', ...; nous dirons que ces couples de 



(*) Servais, toc. cit., 2 e partie, n° 1, § VII. 



