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points forment sur la cubique une involution. Ces couples 

 jouissent de la propriété d'être projetés d'une sécante quel- 

 conque CD, suivant deux faisceaux involutifs. La démonstration 

 est la même que dans le cas de l'involution réelle, le théorème l 

 étant démontré dans toute sa généralité. 



Si les deux faisceaux en involution sont remplacés par deux 

 faisceaux projectifs, on a sur la cubique deux séries projectives. 



7. Les droites qui joignent les points correspondants d'une 

 involution imaginaire sur la cubique, engendrent un système 

 réglé. Même démonstration que pour l'involution réelle, sauf 

 en ce qui concerne les rayons r e et r f du système, passant par les 

 points doubles E et F de l'involution. 11 faut les déterminer 

 d'une autre manière. Soit A un point de la cubique, sur le 

 cône (A) il y a une involution de génératrices, dont le rayon 

 polaire g est la directrice du système réglé passant le point A. 

 Les droites g et r e sont dans un même plan tangent au cône (A) le 

 long de la génératrice AE. De même r e est dans le plan tangent 

 au cône (B), le long de la génératrice BE, donc (n° 3), r e est la 

 tangente à la cubique au point E. Les tangentes t e eti { aux points 

 doubles E et F de l'involution, sont donc des génératrices du sys- 

 tème réglé; et les faisceaux qui projettent de ces tangentes, les 

 directrices du système réglé, sont identiques aux faisceaux, qui 

 projettent leurs points d'appui sur la cubique. La directrice 

 passant par le point E est dans le plan / A E, donc (n° 4), elle 

 est située dans le plan osculateur au point E. Les plans tangents 

 au système réglé, aux points doubles de l'involution, sont les plans 

 osculateurs en ces points. Nous donnons aux directrices du 

 système réglé passant par les points E et F, le nom de droites 

 associées imaginaires. Toute sécante de la courbe, qui rencontre 

 l'une des deux droites associées, rencontre aussi l'autre, et est 

 divisée harmoniquement par les mêmes droites. 



8. Soient A, B, C trois points quelconques de la cubique, E 

 et F les points doubles de la projectivité cyclique (AB, BC, CA). 

 Le point B est un point double de l'involution défini par les 



