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contact des deux plans, forment sur la cubique un groupe har 

 monique. 



12. Soient A, B, C trois points quelconques de la cubique, 

 A', B', C les conjugués des points A, B, C, respectivement par 

 rapport aux couples de points BC, CA, AB; et 0' les points 

 d'intersection des plans ABC, ABC avec la sécante qui joint 

 les points doubles E et F de l'involution AA', BB', CC L'in- 

 tersection <p des plans osculateurs aux points E et F, devant ren- 

 contrer les couples de droites associées AO et A'O', BO et B'O', 

 CO et C'O' n'est autre que l'intersection des plans ABC, A'B'C. 



La droite <p est la polaire harmonique du point 0, par rapport 

 au triangle ABC. Même démonstration que dans le cas des élé- 

 ments réels, basée sur la propriété des droites associées (n° 7). 

 Soient A 4 , D, a les points d'intersection de la droite AO avec 

 la tangente au point A', la sécante BC et la droite cp; on a 



(DAOa) = — 2. 



Soient D' et a' les points d'intersection de la droite A'O', avec- 

 la sécante B'C et la droite <p; on a 



(A'D'OV) *= — 2. 



Mais les droites t a , EF, BC, B'C sont hyperboloïdiques, donc 

 (A'D'OV) = (A,aOD) = — 2; 



ou 



par conséquent 



(OaDA,) = ^: 



(AA.Oa) = — 5. 



De cette égalité on peut déduire dans le cas des éléments 

 imaginaires, les propriétés données pour des éléments réels 

 dans les n os 3, 4, 5, § V de notre mémoire : Sur les imaginaires 

 en géométrie. 



