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DES MASSIFS PULVERULENTS. 139 



Quelle que soit Texpression de R, mais si Ton sait que 7" s'annule sur 

 Tune des deux surfaces, intérieure ou extérieure, la formule (140) se 

 réduit partout à Tr^ = c = 0. Soit alors R' la dérivée de R par rapport 

 à p; la relation (14-2), multipliée par -^ et intégrée après y avoir substitué 

 /; =fc R à — N,., devient aisément : 



/^'' 1 ± R' r 



(li'O / -— r//J=±21og-". 



Celle-ci, dans les cas où R = R + ap, donne, 1" si a n'est pas nul, 



(145) ^ = (-) 



K -4- apa \r I 



2" si a s'annule ou que R = K, 



(140) /3 - ;)„ = =F 2K log-. 



formule évidemment comprise dans (143). 



Ce dernier cas « = 0, particulièrement important à considérer, est celui 

 d'un corps plastique. Appelons alors 



Po 



la pression normale appliquée à l'unité d'aire de la surface intérieure de 

 l'anneau, c'est-à-dire la valeur de — A',. = ;j ± K pour r = r^. On aura 

 /?o ± K = Pu, ou ;j = Po =F R + (/> — p^), et par suite, vu la valeur (1 46) 

 de p — 7^0 et les expressions /j ± R, ;j q= R de — N,., — N^ : 



(147) /j = P„zpK(n-21og^'), -A;=P„q=2Klog-. — iVe =Po=F 2K (l + log-]- 



Les signes supérieurs correspondent, comme il a été dit, au cas où la matière de 

 l'anneau s'éloigne de l'axe, les signes inférieurs au cas où elle s'en rapproche. 



SI. Les formules (147), que M. de Saint-Venant avait déjà déduites des Application à uu.m- 



... /,nr«\/*\ . . 11. <. rie de M. Tresca sur le 



équations (lo/) ( ), ne conviennent, en toute rigueur, que pour les defor- poinçonnage. 



(*) Mémoire du 13 avril 1872, cilé ci-dessus p. 105. 



