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Premier problème. — Une droite ^ contient deux séries de 

 points S^, Sj, dont la liaison est telle que, prenant arbitraire- 

 ment un point, considéré comme appartenant à l'une des deux 

 séries, il correspond, pour l'autre série, un nombre constant de 

 points homologues («g ou «i selon que le point arbitraire appar- 

 tient à la première ou à la seconde série). On demande par com- 

 bien de couples de points homologues ces deux séries sont déter- 

 minées (*). 



Solution. — Si l'on convient de prendre sur la droite a , un 

 point pour origine, et si l'on désigne par pi, p2 les distances, à 

 cette origine, des points de la première et delà seconde série, on 

 a nécessairement entre ces variables une relation de la forme 



dans laquelle «,, aj désignent les plus hautes puissances des let- 

 tres Pi, Pi. Or, cette équation possède au plus (^i-f-l) {cc^-^i) 

 = aia2 -f- a^ -h a2 -+- i coefficients, donc, il suffit de connaître 

 aiaa -+- ai -+- a2 couples de points homologues pour la déterminer. 

 Ainsi la réponse est 



Deuxième problème. — Les deux séries Si, S.2 étant déterminées 

 par aiaa -t- ai -+- «2 couples de points homologues , trouver les 

 points homologues qui correspondent à un point arbitraire con- 

 sidéré comme appartenant à l'une des deux séries. 



Règle. — Prenez arbitrairement en dehors de la droite ^, 

 deux points Qi, Q2; menez les rayons issus de ces points et allant 

 respectivement à deux poitits homologues ; soit Aj leur point 

 d'intersection; cherchez de même les autres points kc^, .\^, ..., 

 Aaia2+ai+û:2 ^"^ donnent les autres couples de points homo- 



(*) Nous disons que deux points donnés constituent un couple de points 

 homologues, lorsqu'ils sont tels que, considérant l'un d'eux comme apparte- 

 nant à l'une des deux séries, le second est un des points correspondants de 

 l'autre série. Ainsi, par exemple, si l'on connaît tous les points a^ qui cor- 

 respondent à un point donné appartenant à la première série , on a de la 

 sorte «a couples de points homologues. 



