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logues, et considérez la courbe 2, d'ordre x^-^ a^, ayant les 

 points Qi, Qa, respectivement multiples d'ordres a^, a.^, et déter- 

 minée par ces deux points multiples et par les a^a^ -4- c^ -+■ ag 

 points simples A^, A.2, ... Aa,ia2i-<^i + â;2. Cette courbe sera telle que 

 si l'on prend sur a un point arbitraire Pj, appartenant , par 

 exemple, à la première série, en le joignant par une droite à Qi , 

 menant les rayons qui vont de Q.2 aux a.2 points d'intersection 

 de cette droite avec 2, on aura a^ rayons qxii rencontreront la 

 droite a aux «2 points demandés. 



Démonstration. — Pour légitimer cette règle, il suflit de 

 montrer : 



1° Que le lieu des points communs aux rayons issus de Q,, Qg 

 et allant respectivement à deux points homologues, est une 

 courbe 2 d'ordre £<,-+- ag, ayant les points Qi, Q2 respectivement 

 multiples d'ordres «i, aj. (On le voit immédiatement en coupant 

 la courbe par des droites issues des points Qj, Q2.) 



2° Que cette courbe 2 est déterminée par les points Qi, Q2 et 

 par «^«2 -4- «1 H- a2 points simples. En effet, toute courbe d'ordre 

 «1 -t- «2 est déterminée par ^^^ "^ ^a) (cci + «a 4- 5 ) p^jj^^g simples, 



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mais les points Qj, Q2 équivalents, comme on sait, a 



?2 (<^2 + ^) points simples, il suffît ici de connaître en outre 



(«iAL(^:t^i±l) _ ^iS^ - <-.ii^±i)_ ^^r,, + a. -f- «2 points 



simples. C. Q. F. D. 



Troisième problème. — Les deux séries ^iy^^^ étant détermi- 

 nées par a^rj.^ -+- a, -t- aa couples de points homologues, trouver 

 les points, situés à distance fmie, qui, considérés comme appar- 

 tenant à l'une des deux séries, coïncident avec l'un des points 

 correspondants de l'autre série. 



Solution. — Ces points, que nous désignerons sous le nom de 

 points de coïncidence, sont au plus au nombre de a^ h- «2, et ce 

 sont précisément les points d'intersections de la courbe 2 et de 

 la droite a. 



JYota. — Si l'on connaît a priori l'un de ces points de coïnci- 

 dence, en prenant les points Qj, Q2 en ligne droite avec ce der- 



