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dérés comme appartenant à deux de ces séries, il correspond un 

 seul point pour la troisième série. 



Premier problème. — Une droite a contient trois séries de 

 poiîîts Si, S2, S3 dont la liaison est telle que, prenant arbitraire- 

 ment deux points, considérés comme appartenant à deux de ces 

 séries, il correspond un seul point pour la série restante. On 

 demande par combien de groupes de trois points homologues, 

 ces trois séries sont déterminées {*). 



Solution. — Si l'on prend sur la droite a un point pour ori- 

 gine, et si l'on désigne par pi, p^, ps les distances, à cette origine, 

 des trois séries de points, on a nécessairement, entre ces va- 

 riables, une relation de la forme (voir notre mémoire Sur la 

 détermination , sans calcul, de l'ordre d'un lieu géométrique) 



apip-2pz -+- bp-iPz -+- (^PzPi -+- dpips ■+- fpt -t- 9p2 -+- fipz -+- î = 0. 



11 résulte évidemment de là qu'il suffit de connaître sept 

 groupes de trois points homologues. 



Deuxième problème. — Les trois séries S,, S2, S3 étant détermi- 

 nées par sept groupes de trois points homologues , déterminer le 

 point homologue de l'une de ces trois séries qui correspond à 

 deux autres points arbitraires donnés appartenant aux deux 

 autres séries. 



RÈGLE. — Soient Qi,Q2 5Q3 i^ois droites formant un triangle, 

 prises arbitrairement dans l'espace; menez les trois plans pas- 

 sant respectivement par ces droites et par un groupe de trois 

 points homologues, soit A^ leur point d'intersection ; cherchez 

 de même les autres points A2, A3, A4, A5, Ag, A, que donnent les 

 six autres groupes de trois points homologues , et considérez la 

 surface 1 du troisième ordre, ayant pour points doubles les 

 sommets du triangle formé par les trois droites Qi,Q2jQ3î et 

 déterminée par ces trois points doubles et par les sept points 



(*) Nous disons qu'un groupe de trois points donnés constitue un groupe 

 de trois points homologues, lorsqu'ils sont tels que, coijsidérant deux d'entre 

 eux comme appartenant à deux des trois séries, le troisième est le point cor- 

 respondant de la série restante. 



