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simples Aj, A2 ... A7. Cette surface sera telle que, si l'on prend 

 sur ^ deux points arbitraires Pj, P2, appartenant, par exemple, 

 aux deux premières séries , le plan déterminé par la droite Q3 et 

 par le point commun à 1 et aux deux plans (PiQi), (PaQa), ren- 

 contrera la droite ^ au point demandé. 



Démonstration. — Cette règle résulte de ces deux circon- 

 stances : 



d° Le lieu des points communs à trois plans, passant respecti- 

 vement par les trois droites Qo Q2, Q3 et par les divers groupes 

 de trois points homologues, est une surface du troisième ordre, 

 ayant pour points doubles les sommets du trangle formé par les 

 trois droites (on le voit immédiatement en coupant la surface par 

 des droites issues de ces sommets) ; 



2° Une surface du troisième ordre, ayant trois points doubles, 

 est déterminée par ces points doubles et par sept points simples. 

 (On se rendra immédiatement compte de ce théorème en se repor- 

 tant à la page 29 de notre Mémoire Sur de nouvelles lois géné- 

 rales régissant les surfaces à points singuliers. Dans ce travail 

 nous enseignons à trouver, par la règle et le compas, le point 

 d'intersection commun à une telle surface et à la droite d'inter- 

 section de deux plans quelconques passant par deux des côtés du 

 triangle formé par les trois points doubles.) 



Troisième problème. — Les trois séries S^, S2, S3 éta7it déter- 

 minées par sept groupes de trois points homologues , trouver les 

 points, situés à distances finie, qui, considérés comme apparte- 

 nant à deux de ces séries, coïncident avec le point correspondant 

 de la série restante. 



Ces points sont au plus au nombre de trois , et ce sont précisé- 

 ment les points d'intersection de la surface 2 avec la droite ^. 



Nota. — Si l'on connaît, a priori , l'un" de ces points de coïn- 

 cidence , en prenant les droites Qi,Q2,Q3 dans un plan passant 

 par ce point, la surface 2 se décomposera en ce plan et en une 

 surface du second ordre déterminée par les trois sommets du 

 triangle Qi, Qa, Q3 et par les points A,, As, A3, A4, A^, Ag que 



