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trouver le couple de points homologues aux deux involutions 

 que détermine la droite Vi sur les deux quadrilatères 



(IJA.B^), (IJA2B2). 



Voici la construction connue : 



Soient (^xa', (3|5'), (aja',, (3,(3i) les deux systèmes de quatre points 

 que détermine la sécante P> sur les deux quadrilatères. Par un 

 point arbitraire A, et les segments «a', p(3' faites passer deux cer- 

 cles qui se coupent en A2 ; considérez de même les deux cercles 

 (Alliai), (>i(3,^l) qui se coupent en 1^', les points commtms à la 

 sécante et au cercle défini par les trois points >i, i^, Jj, soîit les' 

 points demandés. 



Premier théorème. — Soient F, A, B trois points en ligne 

 droite, pris arbitrairement sur une cubique ^. Si Von considère 

 les deux groupes de quatre points que l'on détermine sur cette 

 courbe par ses nouveaux points communs avec deux coniques 

 Cl, C2 assujetties à passer seulement par les points A, B, ces 

 deux groupes de quatre points sont les sommets de deux quadri- 

 latères tels , que les deux points homologues , communs aux 

 deux involutions que toute sécante arbitraire issue de P déter- 

 mine sur eux, appartiennent à la courbe 2. 



Supposons que la droite PAB soit la droite de l'infini, et soit 



MN + R = (1) 



réquation de la cubique, dans laquelle M représente une fonction 

 linéaire en x , y et N, R deux fonctions du second ordre par rap- 

 port à ces mêmes variables. En prenant pour point P le point de 

 la courbe qui est à l'infini, sur la direction de la droite repré- 

 sentée par 



M = 0, 



une conique quelconque C, passant par les points A, B, aura 

 nécessairement une équation de la forme 



N = Q, (2) 



Q étant une fonction linéaire arbitraire. Il résulte, des équations 



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