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inuns à 2 et à une conique circonscrite au quadrilatère (E, F, G, H) 

 passe aussi par l'autre. 



Nofdo — Réciproquement, en s'appuynnt sur ce dernier théo- 

 rème, on aurait pu démontrer immédiatement le théorème direct. 



Deuxième THÉoiiÉME. — Soient (IJAiB,), (IJA^Ba) deux quadri- 

 latères ayant deux sommets communs I, J; si par un point arbi- 

 traire P, on mène une sécante quelconque P)., et que Von considère 

 le couple de points (m,, mj, commun aux deux involutions que 

 celte sécante détermine sur les deux quadrilatères , ces points 

 décrivent, lorsque la sécante tourne autour du point P, une 

 courbe l du troisième ordre, passant par les points P, I, J, 

 A, , Bj , A-,, Mi, par le point M commun aux deux droites AjB, , A^B^, 

 et par le point commun aux deux droites IJ, PM. 



Si l'on suppose (pie les deux points I, J coïncident avec les 

 points circulaires à l'infini, cl si l'on prend les droites A^Bj, A^B^ 

 pour axes coordonnés, ce théorème revient au suivant: 



On a deux faisceaux de cercles définis par les équations 



x^ -h !j^ -+- 'ixy cos -^ ax -^ >,y -+- Ci = 0, 

 x'^ H- 7/* -+- 2œy cos -+- Xc^x -+- 6// -f- Cg = ; 



le lieu des points communs à ces deux cercles pour lesquels les 

 axes radicaux correspondants passent par un point fixe P (xo, yo)j 

 est une cubique circulaire, passant par les points A^, Bi, Ag, B^, 

 ,par le point P, par l'origine 0, et ayant pour troisième direction 

 asymptottque la droite PO. 



En effet, tout axe radical étant représenté par 



œ {a — ^a) + /y ( ) 1 - ^) -H r, - c, = 0, 

 la relation qui lie la variation des deux cercles est 



a:"o'« — ^2)-+-.'/o(^i — t)-+-r, - ^2 = 0; 

 en sorte que la courbe en question a pour équation 



/ x^-\- y^ -4- "2x1/ cos -h hi/ -h cA 



^» i" '■ le ^ ) 



/ .r* ■+- y^ -h 'ixy cos h- aa: -h cA 

 -Voi^-^ 1 -t- c, - Ca = , 



