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ou bien 



ijXq {x^ + 2/' -*- ^xy cos Q -\- ax -\- hy -^ c^) 



— xyo {x^ H- î/^ H- 2j-?/ cos 9 -h aa; -h 6î/ -+- Cl) -h xy {Ci — c^) = , 



équation qui montre manifestement le théorème énoncé. 



JYota. — La théorie de la transformation homographique mon- 

 tre la généralité de cette démonstration. 



Deuxième problème. — Trouver Vinlerseclion complète du lieu 

 précédent avec une conique arbitraire C circonscrite au quadri- 

 latère (IJAiB,). 



On sait que les coniques circonscrites au quadrilatère (IJA2B2) 

 déterminent sur toute conique fixe C passant par deux de ses 

 sommets, des cordes qui passent par un point fixe P'. La droite PP' 

 rencontre C aux deux points communs à cette conique et à 1. 



Définition. — Nous dirons que les sommets des deux quadrila- 

 tères de référence (IJA,Bi), (IJA2B5J) sont un système de points 

 associés au point P, par rapport à la courbe 1. 



Troisième théorème. — Non-seulemenl la réciproque du deu- 

 xième théorème est vraie j mais il existe j pour une courbe arbi- 

 traire 1 du troisième ordre, une infinité de systèmes de points 



P,(I,J,Ai, BJ, (I,J,A„B,), 



qui sont associés à cette courbe. Il suffit, pour en obtenir un, de 

 mener par un point arbitraire P de 2^ une droite quelconque P>, 

 et de considérer les deux coniques passant respectivement par les 

 deux groupes de points 



(1,J,A,), (I,J,A,), 



pris arbitrairement sur cette courbe, et par les deux points de ren- 

 contre de V\ et de 'L; ces deux coniques coupant 1 aux sixièmes 

 points B, , B2 , les points 



P, (I,J,Ai,BJ, (I,J,A,^, B,) 



répondent à la question. 



Ce théorème est évidemment un cas particulier du premier 

 théorème. 



