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II. — EXPOSITION DE LA MÉTHODE. 



La facilité avec laquelle on résout le premier problème préli- 

 minaire montre combien serait simple la construction d'une 

 courbe du troisième ordre, déterminée par neuf points I, J, Ai,B|, 

 J, 2, 5, 4, 5, s'il était possible d'obtenir, au moyen de ces points, 

 un système de points associés. Ce serait précisément (résultat 

 fort remarquable) la même construction que celle que nous avons 

 proposée pour déterminer l'intersection d'une droite et d'une 

 conique définie par cinq points. (Voir notre mémoire Sur le prin- 

 cipe arguesienj chap. I", § 2.) 



Nous allons montrer la possibilité de cette importante détermi- 

 nation. 



Leslme I. — Décrire une cubique 2 d'ans le cas particulier où 

 les neuf points I,J,Ai,Bi,I,2,5,4, 5 so?it tels que les points 



(I,J,A,,B,,1,2), (I, J,A,,B,,3,4) 



appartiennent respectivement à deux coniques C,, Cg. 



Soit P le point de concours des droites (12), (54); considérez 



les coniques 



(IJ125), (IJ345) 



qui se coupent en un quatrième point 5'; le point P a pour qua- 

 drilatères associés les deux quadrilatères 



(IJA.BJ, (IJ53')(*). 



Lemme II. — Décrire une cubique passant par les huit points 

 arbitraires I, J, Aj , Bj, 4, 2, 3, 4. 



Menez les droites (41), (42), et soient i', 2' les intersections 

 respectives de ces droites avec les coniques 



(IJA^B,!), (IJA,Bi2); 



soit encore 5' le quatrième point dintersection des deux coniques 



(IJirS), (IJ22'3); 



f) On voit aisément que la cubique définie par ce système associé passe 

 par les neuf points donnés. 



