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VI. - DETERMINATION DU FOYER SINGULIER DANS LES CYCLIQUES 

 DU TROISIÈME ORDRE. 



Nous ne savons pas si l'on a déjà enseigné à déterminer le foyer 

 singulier d'une cyclique du troisième ordre déterminée par neuf 

 points; quoi qu'il en soit, voici un théorème qui résout, ce nous 

 semble, très-élégamment la question. 



Théorème. — Soient a une parallèle quelconque à Vasymptote 

 réelle de la cyclique (direction que l'on obtient en joignant le 

 point P au point de rencontre des deux droites AjB, , A2B2), e^ C, D 

 ses deux points de rencontre avec cette courbe. Si, par ces deux 

 points, on mène autant de cercles que l'on veut, qui coupent 2 

 aux points (aj, Sj), (a2, 3-2)5 («ô? Pô)? --j /es perpendiculaires élevées 

 sur les milieux des droites a,pi, «2^2? «s^s... passent toutes par le 

 foyer chercJié. 



Problème. — Reco7inaitre si un point donné est foyer ordi- 

 naire d'une cyclique du troisième ordre. 



La seconde construction du paragraphe 4 appliquée ici à un 

 cercle C quelconque enseigne à déterminer une conique qui passe 

 par les points communs à ce cercle et à 2; cette détermination 

 s'effectuant tout aussi bien que le rayon du cercle soit nul ou non 

 nul, on en déduit la solution suivante du problème en question : 



Pour reconnaître si un point P est foyer ordinaire d'une cy- 

 clique du trosiènie ordre, on considérera ce point comme un cercle 

 de rayon nul , on déterminera une conique M passant par ses 

 quatre points communs avec 1, et l'on vérifiera si P est un foyer 

 de M. 



Nous terminerons par l'énoncé d'un théorème dont on trouvera 

 facilement la démonstration. 



Si du foyer singulier d'u7ie cyclique du^troisième ordre comme 

 centre, on décrit des cercles de rayons arbitraires, le lieu des 

 pieds des perpendicidaires abaissées du foyer sur les cordes que 

 ces cercles déterminent sur la cyclique, est un cercle. 



