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QUATRIEME PARTIE. 



THÉORÈMES SLR LES SURFACES DU TROISIÈME ORDRE (*). 



Théorème I. — Soit G ime courbe du quatrième ordre (inter- 

 section de deux surfaces du second ordre) située sur une surface 

 2 du troisième ordre. Toute surface du second ordre passant 

 par G coupe 2 suivant une conique dont le plan passe par une 

 droite fixe qui est une droite de la surface. 



Corollaire. — Soit C un cercle situé sur une surface 2 du 

 troisième ordre qui contient le cercle de V infini. Toute sphère 

 passant par C coupe i suivant un cercle dont le plan passe par 

 une droite fixe qui est une droite de la surface. 



Théorème II. — Soit D une des vingt-sept droites d'une sur- 

 face du troisième ordre 1, et C une conique de cette même surface 

 située dans un plan passant par D. Concevons par la conique 

 deux surfaces du second ordre qui vont découper sur s deux 

 courbes gauches bj, bg du quatrième ordre. Si par un point P, 

 pris arbitrairement sur D, on mène une sécante quelconque S qui 

 coupe 1 en Wi, rua, ces deux points peuvent être considérés comme 

 le couple de points homoloques commun aux deux involutions 

 déterminées par cette sécante sur deux quadrilatères c/ui auraient 

 pour sommets les points d'intersections des deux courbes b^, b^par 

 un plan quelconque passant par S. 



Corollaire. — Soieiit D une droite d'une surface i du troi- 

 sième ordre contenant le cercle de l'infini, et C un cercle de cette 

 surface contenue dans un plan passant par D. Concevons par le 



{*) Voir, page 10 de ce mémoire, un important prol)lème concernant ces 

 surfaces. 



