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cercle C deux sphères qui découpent sur la surface deux cercles 

 Cj, C2. Si par un point P pris sur D on mène un sécante arbi- 

 traire qui coupe 3: en inj, nig, on peut dire que ces deux points 

 sont les deux points homologues communs aux deux involutions 

 déterminées sur cette sécante par les deux faisceaux de sphères 

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Remarque. — La réciproque de ce dernier théorème est vraie 

 et Ton peut dire que : 



Si Von a dans V espace un point P et deux cercles Cj, Cg, le lieu 

 des couples de poitits homologues communs aux deux involu- 

 tions que déterminent les deux faisceaux de sphères c^, c^ sur 

 une sécante quelconque issue de P, est une surface du troisième 

 ordre contenant le cercle de Vin fini, les deux cercles Cj, c^ et le 

 point P. 



Théorème III. — Toute surface 2, du troisième ordre, à point 

 double P et passant par le cercle de Vinfmi, est déterminée par 

 un cercle quelconque C de cette surface et trois points arbitraires 

 a, b, c. 



Cette surface peut être construite comme il suit : 



Soient a', b', c' les seconds points d'intersection des sphères 

 (Ca), (Cb), (Ce) avec les rayons Pa, Pb, Pc; si l'on considère un 

 point quelconque m du plan n déterminé par les trois points a', 

 b', c', il est tel que le second point de rencontre du rayon Pm avec 

 la sphère (Cm) est un point de la surface 2. 



Remarque I. — Le cône tangent en P , à 2, a pour base le cercle 

 d'intersection du plan n avec la sphère (CP). (Cette remarque 

 constitue à elle seule l'étude des affections du point (P.) 



Remarque II. — Les points réels de la surface, situés à l'infini, 

 sont sur la droite de l'infini, située dans le plan qui passe par le 

 point P et par la droite d'intersection du plan du Cercle C avec le 

 plan n. 



Remarque III. — Si l'on suppose le point P à l'infini dans une 

 direction donnée, la surface 2 se décompose et l'on en déduit la 

 construction suivante d'une surface du second ordre déterminée 

 par un cercle C et quatre points P, a, b, c, dont l'un d'eux , P, est 

 à l'infini, dans une direction donnée : 



