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Deux remarques vont suftire, au reste, pour montrer à la fois 

 l'intérêt et la nécessité de nos recherches (*). 



1° Guidé par une extension bien naturelle d'un théorème de 

 géométrie plane, on aurait pu croire à l'exactitude absolue de cette 

 proposition : 



(P). — Si trois surfaces d'ordres 



1711,1112, m^ 



possèdent en commun des points 



A,B,C,D,...,L 

 multiples d'ordres 



{a^,a,,a^),{b^,b.„b^), (Ci,Cj,C3\, {d,,d^,d^), ..., (/j, Z^, g ("*), 



et s ontles plus générales de leur espèce {***), le nombre des points 

 simples, communs à ces surfaces, est marqué par la formule 



Il est cependant facile de se convaincre de l'inexactitude de ce 

 théorème. Supposons, en effet, le cas particulier où l'on a 



mi = m2 = m3 = 3, 

 ai= a^= «3 = 2, 



r*){ 6,= 6,= 63 = 2, 



Cl = C2 = C3 = 2, 

 f/j= ^2 = ^3 = 2; 



(*) Depuis longtemps déjà nous avions communiqué, en partie, ces remar- 

 ques à M. Catalan (voir les Bulletins de l'Académie roijale de Belgique, année 

 1873, p. 559). 



(**) Si parmi les m points de rencontre d'une surface d'ordre m, avec une 

 droite quelconque passant par un point fixe, on peut en compter a confondus 

 avec ce point fixe, ce point est dit multiple d'ordre a. 



{***) Nous disons qu'une surface d'ordre m, possédant des points A,B,C,D,..L 

 multiples d'ordres a, b,c,d, ... l esl la plus générale de son espèce, lorsqu'on 

 peut obtenir son équation en partant de l'équation la plus générale d'ordre m, 

 et eu assujélissant seulement les coefBcienls de cette équation aux seules 

 conditions exigées par l'existence de ces points multiples. 



(****) Voir, sur ces surfaces, un intéressant mémoire de M. Laguerre, publié 

 dans les Bulletins de la Société mathématique. 



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