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 on aurait, d'après la formule en question 



N = 27- 32 = (—5), 



c'est-à-dire que le nombre des points simples communs serait repré- 

 senté par le nombre négatif 



(- 3) ! 



résultat évidemment absurde; donc le théorème (P) n'est pas tou- 

 jours exact. C. Q. F. D. (*j. 



JVota. — Le théorème (P) n'étant pas toujours exact, il en 

 découle immédiatement que la formule 



exprimant quun point multiple d'ordre p abaisse la classe de 

 p{p — d)2 unités n'est pas toujours exacte. C'est du reste ce que 

 l'on vérifie sans difficulté en l'appliquant par exemple à la déter- 

 mination de la classe de la surface du quatrième ordre douée de 

 deux points triples; on trouve ainsi le nombre 12, alors que des 

 considérations directes conduisent au nombre i4. 



(*) 11 est naturel de se demander pourquoi le théorème: 



Si deux courbes d'ordres m^, m^ possèdent des points A,B,C,D...L 

 multiples d'ordres (a^, aj , (b^, bg), (Cj, c^) , (d^, d^) ... (l^, Ij), et sont les 

 plus générales de leur espèce, le nombre des points simples communs à ces 

 courbes est marqué par la formule N = mim2 — a,a2 — bib^ — CjCa— did2...1Jj. 



étant toujours exact, le théorème correspondant pour les surfaces ne Test pas 

 toujours. Cette question nous a préoccupé longtemps avant d'avoir observé que 

 nous avions déjà donné la réponse par un théorème inséré dans les Bulletins 

 de l'Académie de Belgique. Celte circonstance lient simplement, en eflfet, à 

 l'impossibilité que deux courbes non décomposables aient, malgré un nombre 

 quelconque de points multiples communs, une partie commune; en sorte que 

 la continuité de l'équation qui détermine leurs points communs n'est jamais 

 altérée par leur position respective; tandis que trois surfaces non décompo- 

 sables, qui ont un certain nombre de points multiples peuvent posséder, par 

 là même , si ces points multiples viennent à coïncider, une ligne commune. 

 C'est ainsi que trois surfaces du sixième ordre qui ont en commun deux 

 points quadruples, admettent , par là même, en commun une ligne double: 

 la ligne droite qui les joint. 



