Si une surface d'ordre 

 possède quatre points 

 multiples d'ordres 

 tels que 



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m 

 A,B, C,D 



a,b, c, d, 

 -c-\-d surpasse 2w , 



cette surface peut être transformée unicursalement , à l'aide de 

 ces points multiples , en une surface d'ordre inférieur (*). 



Remarquons en passant que si l'on rapproche cette nouvelle 

 loi de celle que nous avons fait connaître pour les courbes planes, 

 dans le mémoire déjà cité, on reconnaît que, comme elle, elle 

 constitue une classification des surfaces (**). Toutefois, ici un point 

 reste à élucider : pour les courbes il y a une classification unique, 

 en est-il de même pour les surfaces? En d'autres termes, y a-t-il 

 d'autres transformations qui permettent de transformer, unique- 

 ment à l'aide des points multiples, en ayant égard à une inégalité 

 différente dea-f-6-+-c-f-f/> 2m, une surface d'ordre supérieur 

 en une surface d'ordre inférieur? Quelle que soit la réponse ulté- 

 rieure à cette importante question, nous n'en considérerons pas 

 moins comme terme toute surface, possédant quatre points mul- 

 tiples dont la somme des ordres soit supérieure à deux fois son 

 degré, et comme hase toute surface qui ne satisfait pas à cette 

 condition. Il n'est pas besoin d'ajouter qu'à côté des hiérarchies 

 ponctuelles nous trouverons des hiérarchies tangentielles, résul- 

 tats qui permettront de se priver du secours du principe de dualité. 



(*) Nous croyons important de faire remarquer que nous étions en possession 

 de celte loi, dès Tannée 1870, comme on peut le constater en lisant la fin de 

 l'introduction de notre mémoire Sur l'application de la transformation 

 arguesienne à la génération des courbes et surfaces. 



(**) Voici un autre théorème qui conduit également à une classification des 

 courbes gauches; nous y consacrerons bientôt un" mémoire spécial : Si une 

 courbe gauche d'ordre m possède quatre points, dont la somme des ordres 

 de multiplicité soit supérieure au degré m de la courbe, cette courbe peut 

 être transformée unicursalement, à l'aide de ces points multiples, en une 

 courbe d'ordre inférieur. 



