surpasse 2m, la surface transformée sera d'ordre inférieur à la 

 proposée. Nous pouvons donc énoncer ce principe capital qui 

 constitue la loi de classification que nous avions en vue : 



Loi. — Si une surface possède quatre points multiples, dont la 

 somme des ordres soit supérieure à deux fois son degré j ses pro- 

 priétés sont rattachées â celles d'une surface d'ordre inférieur. 



C'est ainsi que toutes les propriétés des surfaces énumérées 

 dans le paragraphe suivant se rattachent, respectivement, aux pro- 

 priétés du plan, de la surface du second ordre, de la surface du 

 troisième ordre à deux points doubles, de la surface du troisième 

 ordre à un point double, et de la surface du troisième ordre sans 

 point double. 



Parmi les propriétés qui se transforment sans difficulté et sans 

 modification, nous nous bornerons, pour le moment, à signaler 

 la plus importante d'entre elles, celle qui concerne la génération, 

 par points, de ces surfaces. On peut énoncer ce théorème qui 

 par lui-même constitue une nouvelle loi , extrêmement impor- 

 tante : 



Loi. — La connaissance de la génération , par points, d'une 

 surface s, la plus générale d'un genre doimé (*), entraine la 

 connaissance de la génération , par points , de toutes les surfaces 

 dont elle est la base {**). 



C'est ainsi que sachant construire par points le plan, la sur- 

 face du second ordre, la surface du troisième ordre à deux points 

 doubles, la surface du troisième ordre à un point double et la 

 surface du troisième ordre sans point double, on saura construire, 

 par points, les surfaces dérivées correspondantes que nous allons 

 faire connaître, lorsque ces surfaces dérivées sont déterminées 

 par un nombre suffisant de points. 



(*) On ne doit pas oublier que nous entendons par courbes ou surfaces du 

 même genre , deux courbes ou deux surfaces du même degré , qui admettent 

 le même nombre de points multiples, avec le même degré de multiplicité 



(**) Ajoutons que si nous n'accordons pas à cette loi un chapitre spécial, 

 c'est que nous n'aurions, en quelque sorte, qu'à reproduire le n»» 13, p. 18, 

 de notre mémoire Sur l'application de la transformation arguesienne à 

 la génération des courbes et surfaces. 



