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multiples d'ordres 



ne formant aucune même combinaison positive, et sont les plus 

 générales de leur espèce, le nombre des points simples communs 

 est égal au produit des degrés des trois surfaces, diminué du 

 produit des ordres des points A, B, C. En d'autres termes, ce 

 nombre est marqué par la formule 



N = wiimjWg — aifl^rts — 616563 — CiC^c^. 



Ce théorème se démontre immédiatement en remarquant que, 

 dans ce cas, les trois surfaces ne possédant pas de ligne com- 

 mune (circonstance qui se présentait dans tous les autres cas et 

 qui altéi'aitla continuité), la courbe e?itière d intersection de deux 

 d'entre elles, n'ayant pas de partie commune avec la troisième, la 

 rencontre effectivement en un nombre de points simples marqué 

 par cette formule. 



Observation générale sur les quatre théorèmes précédents — 



Nous avons supposé, dans les quatre théorèmes précédents, que 

 lorsque deux points multiples communs aux trois surfaces ne don- 

 naient pas une combinaison poNitive pour les trois surfaces, ces 

 deux points donnaient, au plus, une combinaison positive pour 

 une seule de ces surfaces. Il reste à examiner ce qui arrive lorsque 

 deux pareils points donnent deux combinaisons positives pour 

 deux des trois surfaces. Comme le raisonnement est le même dans 

 les quatre cas, nous nous bornerons à le présenter sur l'exemple 

 suivant : 



Problème. — Trois surfaces Mj, M2, M3, d'ordres mj, m.2, mg, 

 ont deux points communs A, B multiples d'ordres (ai,a2, aj), 

 (bi, bj, bs), tels que les combinaisons r^^^^ , p^^j^ soient positives et 

 que la combinaison r„./,_ soit négative. On demande le nombre des 

 points simples communs à ces trois surfaces. 



Première solution. — La droite AB, étant respectivement pour 

 les deux surfaces M,, Mj, une ligne multiple d'ordre r„,6^, J'a^éa? est 

 par là même, pour ces deux surfaces , une ligne commune d'or- 



