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Nota. — On énonce de même facilement les autres théorèmes, 

 relatifs aux cas où il y a cinq, quatre, trois, deux, une et zéro 

 combinaisons positives communes aux trois surfaces. 



Observation générale. — Au moyen d'une simple convention, 

 relative à la valeur du produit des ordres des trois combinaisons 

 formées par deux mêmes points multiples, communs à trois sur- 

 faces, nous allons donner un théorème général qui comprendra 

 tous les résultats obtenus soit dans ce paragraphe, soit dans le 

 précédent. 



Convention. — Tout terme, formé par le produit des ordres des 

 trois combinaisons relatives à deux mêmes points communs à trois 

 surfaces, doit être considéré comme donnant pour résultat zéro, 

 s'il contient deux ou trois facteurs négatifs. 



Théorème général. — Le nombre des points simples communs 

 à trois surfaces qui ont déjà en commun u. points multiples (pétant 

 égal ou inférieur à 4), et qui sont les plus générales de leur 

 espèce , est égal au produit des degrés des trois surfaces, diminué 

 DE L\ SOMME des produits des ordres de multiplicité de chaque 

 point singulier, cette différence étant augmentée de la somme 

 algébrique des produits des ordres des combinaisons formées 

 par ces points combinés deux d deux, pourvu , toutefois, nous le 

 répétons , que l'on convienne de remplacer par zéro tout terme de 

 cette dernière somme qui serait le résultat d^un produit de deux 

 facteurs négatifs par un farteur positif, ou bien le résultat de 

 trois facteurs négatifs. 



Nota I. — On peut préciser davantage ce théorème en disant 

 que la seule restriction exigée, pour qu'il donne sûrement le 

 nombre exact des points simples communs aux trois surfaces, est 

 que ces trois surfaces soient telles que la courbe simple d'inter- 

 section I de deux d'entre elles n'ait pas en ses divers points mul- 

 tiples des tangentes qui soient des génératrices des cônes tangents 

 en ces mêmes points à la troisième surface. — Cette remarque est 

 une conséquence immédiate du mode même de démonstration. 



Nota II. — Le théorème général que nous venons d'énoncer 

 ne souffre d'exception que s'il arrive qu'il y ait un ou plusieurs 

 groupes de deux points singuliers donnant pour deux des surfaces 



