(47) 



des combinaisons d'ordres égaux à l'unité, et pour la troisième 

 surface une combinaison d'ordre négatif; dans ce cas il faut encore 

 considérer comme nul le produit des ordres correspondants. 



III. — CAS ou //. EST SUPÉRIEUR A 4. 



Observation préiimiuaire. — Nous n'affîrmons pas, mais nous 

 avons lieu de croire que, si parmi les ^i points en question, il 

 n'y en a pas quatre dont la somme des degrés de multiplicité soit 

 supérieure à deux fois le degré respectif de chaque surface, le 

 nombre des points simples cherchés est égal : 

 au produit des degrés des trois surfaces, diminué du produit des 

 ordres des points multiples, cette différence étant augmentée de 

 la somme cdgèbrique des produits des ordres des combinaisons 

 formées par ces points, pourvu, toutefois, que l'on convienne 

 encore de remplacer par zéro tout terme de cette dernière somme 

 qui serait le résultat d'un produit de deux facteurs négatifs par 

 un facteur positif, ou bien le résultat de trois facteurs négatifs{*). 



Nous n'examinerons donc que les cas particuliers où, parmi 

 les p. points, il y en a au moins quatre A, B, C, D multiples d'ordres 



(«15 «2, «3), {^1,^2. y, (c,,c.,,Cs), {di,di,ds), 



tels que Ion ait 



!«! -f- 61 -t- Cl -+-<?! = 2^1 -f- Pi , 

 «2 -+- &2 ~^- ^2 -+- ^2 = 2m2 -H P2 , 

 «3 -+- ^3 + ^3 -*- <^3 = 2m3 -t- P3. 



Pu P2, Pz étant des nombres positifs non nuls. 



(*) Ce théorème, pour le cas de m = 5, pourrait encore être démontré direc- 

 tement en suivant la même marche que pour u- iiîférieur à ce nombre. Ici se 

 présente donc naturellement cette question : Pourquoi la méthode exposée 

 cesse-t-elle d'être applicable pour fx supérieur à S? La réponse est simple. 

 Dès que /j. est égal ou supérieur à 6, l'ensemble de ces points peut déterminer 

 une courbe commune , non composée de lignes droites. Quel est le degré de 

 cette courbe et son ordre de multiplicité? Tels sont les deux nombres qu'il 

 faut connaître pour pouvoir appliquer la méthode. 



