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les expressions r^^, r^y, v^y désignant les ordres des combinai- 

 sons positives ou négatives formées par les trois points multiples. 



II. — CAS DE IL ÉGAL A 4. 



En invoquant encore la théorie de l'homographie, on peut sup- 

 poser que parmi les quatre points multiples considérés A, B, C, D 

 trois d'entre eux A, B, C, multiples d'ordres a, (3, y-, sont situés 

 à l'infini sur les trois axes coordonnés, et le quatrième D, mul- 

 tiple d'ordre ^, à l'origine. Or, nous venons de voir que si Ton 

 exprime que les trois points à l'infini situés sur les trois axes 

 coordonnés sont multiples d'ordres a, (3, y, il reste dans l'équa- 

 tion la plus générale des surfaces d'ordre m un nombre de termes 



marqué par 



N (r» - « , ?/*» -^ , s'" - y y» ; 



en conséquence, le nombre cherché est évidemment égal au 

 nombre des termes moins un du polynôme 



dans lequel on a supprimé tous les termes du degré ^ — 1. Cher- 

 chons donc ce dernier nombre. Il est manifestement déterminé 

 par la formule 



appliquée à l'un des quatre cas suivants : 



l» m — a> J^, m — (3 > J, m — r>J^ Q = N(a;^-S î/^-i, z^-')^-', 



5« m — a > ^, 7n — i3 < <5^, m — ■> < f? Q = N {x^-\ y'"-^, s"»-'/)^-*, 

 4° m — « < ^, 771 — /3, < J~, m - r < <^ Q = N {ar»*-o-', y»-^, z'»-yf-i; 



nous pouvons donc dire que le nombre cherché est égal à 



P = N (a;'« -^, y"»-/^, 5"*- >) — 1 — Q, 

 Q ayant l'une de ces quatre valeurs. 



