,v AVANT-PROPOS. 



M. Catalan se proposait, au même moment, de former des exemples simples 

 de surfaces minimas. Il indiqua plusieurs surfaces algébriques dégagées des 

 généralités dont la particularisaiion seule constitue Pintérêt. Mais il faut 

 signaler surtout parmi des surfaces construites élégamment par M. Catalan, 

 celle qui présente une double génération par des paraboles et des cycloïdes. 

 On verra, par la suite, comment le rapprochement de celle surface remar- 

 quable de l'alysséïde qui admet parallèlement une double génération par des 

 cercles et des chaînettes, nous a amené à trouver une singulière propriété, 

 tout à fait générale, (railleurs, des surfaces à l'élude. 



Il convient, en outre, d'observer que celte surface est la première de la 

 famille, transcendanle, mais sur laquelle on ail pu tracer des lignes algé- 

 briques. M. Schwarlz a lire grand parti de cet exemple, et nous aurons 

 l'occasion de montrer comme il est profitable d'en chercher de semblables. 



Nous ne passerons pas sous silence une remarque de M. J. Serret, fort 

 importante malgré son apparence de simple curiosité : ce géomètre a fait 

 voir que certaines développables imaginaires doivent être considérées comme 

 des surfaces à élendue minima. Celait un retour inconscient à l'intégrale de 

 Monge et la clef du problème dont il avait laissé la solution à de plus heureux. 



M. Malhet, parmi les géomètres français, donna une conslruclion diffé- 

 rentielle des surfaces minimas les plus générales, mais sans prétendre à la 

 conslruclion intégrale. 



Les éludes sur la déformation des surfaces mirent en lumière de nouvelles 

 propriétés : Bour fit voir qu'une surface minima peut être déformée sans 

 perdre son caractère de minimum; déjà M. 0. Bonnet en avait donné un 

 exemple cilé plus haut. Bour montra qu'il est une infinité de surfaces minimas 

 applicables sur des surfaces de révolution; il parvint même à donner leur 

 intégrale, mais sans particulariser ; il montra que de loutes les surfaces, la 

 plus simple au point de vue de la déformalion esl l'allyséi'de, à la fois minima 

 et de révolution. 



Il est très-remarquable que les surfaces caractérisées par une condition de 



